Другие преобразования приводящие к уравнению следствию. Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Школьная лекция

«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие »

Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений – это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.

К 10-му классу учащиеся накопили некоторый опыт в решении уравнений. В 7-8-х классах решаются линейные и квадратные уравнения, здесь никаких неравносильных преобразований нет. Далее в 8-м и 9-ом классах решаются рациональные и простейшие иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением от знаменателя и возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Таким образом, возникает потребность для введения новых понятий: равносильность уравнений, равносильные и неравносильные преобразования уравнения, посторонние корни и проверка корней. На основе накопленного учащимися опыта решения перечисленных выше классов уравнений, возможно определить новое отношение равносильности уравнений и «открыть» вместе с учениками теоремы о равносильности уравнений.

Урок, конспект которого представлен ниже, предваряет рассмотрение тем, связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Теоретический материал этого урока служит опорой при решении всех классов уравнений. На данном уроке необходимо определить понятие равносильных уравнений, уравнений-следствий, рассмотреть теоремы о преобразованиях, приводящих к таким видам уравнений. Рассматриваемый материал, как отмечалось выше, является своеобразной систематизацией знаний учащихся о преобразованиях уравнений, он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым типом урока является школьная лекция. Особенность этого урока в том, что поставленная на нем учебная задача (цели) решается на протяжении многих последующих уроков (выявление преобразований над уравнениями ведущих к приобретению посторонних корней и потере корней).

Каждый этап урока занимает важное место в его структуре.

На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений, которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.

Цель этапа мотивации – создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.

Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено определению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.

Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Оформление записей учащимися в тетрадях приведено в конце конспекта урока.

Конспект урока

Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2003).

Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

В результате ученик

знает

Определение равносильных уравнений,

Определения уравнения-следствия,

Формулировки основных теорем;

умеет

Из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения и уравнения-следствия,

Применять определения равносильных уравнений и уравнений-следствий в стандартных ситуациях;

понимает

Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям,

Что существуют преобразования, в результате которых уравнение может приобрести посторонние корни,

Что в результате некоторых преобразований может произойти потеря корней.

Тип урока. Школьная лекция (2 часа).

Структура урока.

I. Мотивационно-ориентировочная часть:

Актуализация знаний,

Мотивация, постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть:

Решение учебно-исследовательской задачи (цели урока).

III. Рефлексивно-оценочная часть:

Подведение итогов урока,

Выдача домашнего задания.

Ход урока

I . Мотивационно-ориентировочная часть.

Сегодня на уроке поговорим об уравнении, но тему пока записывать не будем. Вспомним основные понятия, связанные с уравнением. Прежде всего, что такое уравнение?

(Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции равны значениям другой функции).

Какие еще понятия связаны с уравнением?

(Корень уравнения и что значит решить уравнение. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет).

Что называется ОДЗ уравнения?

(Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения).

Найдите ОДЗ следующих уравнений.

6)
.

На доске записано решение уравнения

Что представляет собой процесс решения уравнения?

(Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным).

Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению
и т.д. к
. Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения
. Проверьте, являются ли числа они и числа и
корнями исходного уравнения .

(Числа , и являются корнями исходного уравнения, а - нет).

Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней
и приобретению постороннего корня .

Как можно избавиться от посторонних корней?

(Сделать проверку).

Допустима ли потеря корней? Почему?

(Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни).

Как же избежать потери корней?

(Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней).

Итак, чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

(Наверное, знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

Вот этим мы и займемся на этом уроке. Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

(Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

II . Операционно-познавательная часть.

Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого уравнения - проставляет числа).

Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

(Уравнения , ,,
и ,).

Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

(Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными).

Запишем определение.

Определение 1. Уравнения
и
называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Необходимо отметить, что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Для обозначения равносильных уравнений можно использовать символ «». Процесс решения уравнения , используя новое понятие, можно отразить так:

Таким образом, переход от данного уравнения к равносильному не влияет на множество корней получающегося уравнения.

А какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?

(Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную).

Менялись ли при этом их корни?

На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.

(Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).

Какое еще свойство уравнения вы знаете?

(Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля).

Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему. Обратимся опять к уравнению, записанному на доске. Сравните множество корней уравнений и ?

(Корень уравнения является корнем уравнения ).

То есть при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения . Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.

(Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения).

Определение 2 . Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

- В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

(Возведение в квадрат обеих частей уравнения).

Значит, это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие. Есть ли еще уравнения-следствия в представленной цепочке преобразований уравнения ?

(Да, например, уравнение - следствие уравнения , а уравнение - следствие уравнения ).

А какие это уравнения?

(Равносильные).

Попытайтесь, используя понятие уравнения-следствия, сформулировать эквивалентное определение равносильных уравнений.

(Уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого).

Есть ли еще уравнения-следствия в предложенном решении уравнения ?

(Да, уравнение - следствие уравнения ).

Что происходит с корнями при переходе от к ?

(Потеряны два корня).

В результате какого преобразования это произошло?

(Ошибка в применении тождества
)..

Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а)
б)

Разработка урока алгебры в 11 профильном классе

Урок проводила учитель математики МБОУ СОШ № 6 Тупицына О.В.

Тема и номер урока в теме: «Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию», урок № 7, 8 в теме: «Уравнение – следствие»

Учебный предмет: Алгебра и начала математического анализа– 11 класс (профильное обучение по учебнику С.М.Никольского)

Вид урока: «систематизация и обобщения знаний и умений»

Тип урока: практикум

Роль учителя: направить познавательную активность учащихся на выработку умений самостоятельно применять знания в комплексе для выбора нужного способа или способов преобразования, приводящие к уравнению – следствию и применение способа в решении уравнения, в новых условиях.

Необходимое техническое оборудование: мультимедиа оборудование, веб-камера.

На уроке использовались :

дидактическая модель обучения – создание проблемной ситуации,
педагогические средства – листы с указанием учебных модулей, подборка заданий для решения уравнений,
вид деятельности учащихся – групповая (группы формируются на уроках – «открытия» новых знаний, уроки № 1и 2 из учащихся с разной степенью обученности и обучаемости), совместное или индивидуальное решение задач,
личностно – ориентированные образовательные технологии : модульное обучение, проблемное обучение, поисковый и исследовательский методы, коллективный диалог, деятельностный метод, работа с учебником и различными источниками,
здоровьесберегающие технологии - для снятия напряжения проводится физкультминутка,
компетенции:

- учебно – познавательная на базовом уровне - учащиеся знают понятие уравнения – следствия, корня уравнения и способы преобразования, приводящие к уравнению - следствию, умеют находить корни уравнений и выполнять их проверку на продуктивном уровне;

- на продвинутом уровне – учащиеся могут решать уравнения с помощью известных способов преобразований проверять корни уравнений, используя область допустимых значений уравнений; вычислять логарифмы с помощью свойств на основе исследования; информационная – учащиеся самостоятельно ищут, извлекают и отбирают необходимую для решения учебных задач информацию в источниках различного типа.

Дидактическая цель:

создание условий для :

Формирование представления об уравнениях – следствиях, корнях и способах преобразований;

Формирования опыта смыслотворчества на основе логического следствия из ранее изученных способов преобразования уравнений: возведения уравнения в чётную степень, потенцирование логарифмических уравнений, освобождение уравнения от знаменателей, приведение подобных членов;

Закрепление умений по определению выбора способа преобразования, дальнейшему решению уравнения и выбору корней уравнения;

Овладение навыками постановки задачи на основе известной и усвоенной информации, формирование запросов на выяснение того, что еще не известно;

Формирование познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

Развитие логического мышления, творческой активности учащихся, проектных умений, умений излагать свои мысли;

Формирование чувства толерантности, взаимовыручки при работе в группе;

Пробуждения интереса к самостоятельному решению уравнений;

Задачи:

Организовать повторение и систематизацию знаний о способах преобразования уравнений;

- обеспечить овладение методами решения уравнений и проверки их корней;

- способствовать развитию аналитического и критического мышления учащихся; сравнивать и выбирать оптимальные методы решения уравнений;

- создать условия для развития исследовательских навыков, умений работы в группе;

Мотивировать учащихся на применение изученного материала для подготовки к ЕГЭ;

Проанализировать и оценить свою работу и работу своих товарищей по выполнению данной работы.

Планируемые результаты:

*личностные:

Навыки постановки задачи на основе известной и усвоенной информации, формирования запросов на выяснение того, что еще не известно;

Умение выбирать источники информации, необходимые для решения задачи; развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

Развитие логического мышления, творческой активности, умений излагать свои мысли, умение выстраивать аргументацию;

Самооценка результатов деятельности;

Умение работать в команде;

*метапредметные:

Умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогию, применять индуктивные способы рассуждений, выдвигать гипотезы при решении уравнений,

Способность к интерпретации и применению полученных знаний при подготовке к ЕГЭ;

*предметные:

Знания о способах преобразования уравнений,

Умение устанавливать закономерность, связанную с различными видами уравнений и использовать её при решении и отборе корней,

Интегрирующие цели урока:

(для учителя) Формирование у учащихся целостного представления о способах преобразования уравнений и методах их решений;
(для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации, связанные с видами уравнений, содержащими различные функции. Подготовка к ЕГЭ.

І этап урока:

Актуализация знаний для повышения мотивации в области применения различных способов преобразований уравнений (входная диагностика)

Этап актуализации знаний проводится в виде проверочной работы с самопроверкой. Предлагаются задания развивающего характера, опирающиеся на знания приобретённые на прошлых уроках, требующие от учащихся активной мыслительной деятельности и необходимые для выполнения задания на данном уроке.

Проверочная работа

Выберите уравнения, требующие ограничения неизвестных на множестве всех действительных чисел:

а) = Х-2; б)3 = Х-2; в) =1;

г) ( = (; д) = ; е) +6 =5 ;

ж) = ; з) = .

(2) Укажите область допустимых значений каждого уравнения, где имеются ограничения.

(3) Выберите пример такого уравнения, где при преобразовании может произойти потеря корня (используйте материалы прошлых уроков по данной теме).

Ответы каждый сверяет самостоятельно по готовым, высвеченным на экране. Разбираются наиболее сложные задания и обращается особое внимание учащихся на примеры а, в, ж, з, где ограничения существуют.

Делаются выводы о том, что при решении уравнений, необходимо проводить определение области допустимых уравнением значений или делать проверку корней, чтобы избежать посторонних значений. Повторяются ранее изученные способы преобразования уравнений, приводящих к уравнению – следствию. То есть ученики тем самым смотивированны для поиска верно выбранного способа решения уравнения, предложенного им в дальнейшей работе.

ІІ этап урока:

Практическое применение своих знаний, умений и навыков при решении уравнений.

Группам раздаются листы с модулем, составленным по вопросам данной темы. В модуль входят пять учебных элементов, каждый из которых нацелен на выполнение определённых задач. Учащиеся, имеющие разные степени обученности и обучаемости самостоятельно определяют объём своей деятельности на уроке, но так как все работают в группах, происходит непрерывный процесс корректировки знаний и умений, подтягивание отстающих до обязательного, других до продвинутого и творческого уровней.

В середине урока проводится обязательная физминутка.

№ учебного элемента	Учебный элемент с указанием заданий	Руководство по освоению учебным материалом
УЭ-1	Цель: Определить и обосновать основные методы решения уравнений, основываясь на свойствах функций. Задание: Укажите способ преобразования для решения следующих уравнений: А) )= -8); б) = в) ( = ( г) ctg +х 2 -2х = ctg +24; д) = ; е) = sin x. 2) Задание: Решите не менее двух уравнений из предложенных. Опишите, какие способы применялись в решённых уравнениях.	П. 7.3 стр.212 П.7.4 стр.214 П. 7.5 стр.217 П.7.2 стр. 210
УЭ-2	Цель: Овладеть рациональными приёмами и методами решения Задание: Приведите примеры из указанных выше или самостоятельно подобранных (используйте материалы прошлых уроков) уравнений, при решении которых можно использовать рациональные приёмы решения, в чём они заключаются? (акцент на способ проверки корней уравнения)
УЭ-3	Цель: Использование полученных знаний при решении уравнений высокого уровня сложности Задание: = ( или ( = (	П.7.5
УЭ-4	Установите уровень освоения темы: низкий – решение не более 2-х уравнений; Средний – решение не более 4-х уравнений; высокий – решение не более 5-ти уравнений
УЭ-5	Выходной контроль: Составить таблицу, в которую представить все используемые вами способы преобразования уравнений и на каждый способ записать примеры, решённых вами уравнений, начиная с 1 урока темы: «Уравнения – следствия»	Конспекты в тетрадях

ІІІ этап урока:

Выходная диагностическая работа, представляющая рефлексию учащихся, которая покажет готовность не только к написанию контрольной работы, но и готовность к ЕГЭ по данному разделу.

По итогу урока все без исключения учащиеся оценивают себя сами, затем идёт учительская оценка. Если возникают несогласия между учителем и учеником, то учитель может предложить выполнение дополнительного задания ученику, чтобы объективно суметь оценить его. Домашнее задание нацелено на повторение материала перед контрольной работой.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

При решении практических задач в большинстве случаев приходят к уравнениям. На уроках математики мы изучаем различные методы решения алгебраических, тригонометрических уравнений. В процессе решения возникает немало вопросов, например, о том, когда появляются посторонние корни или когда уравнение теряет корни, всегда ли нужно делать проверку и находить ОДЗ? На эти и другие вопросы, как показало исследование, хотели бы знать ответы большинство (85%) учащихся 10 и 11классов.

Поэтому получить целостное представление о способах решения уравнений и в конечном счете ответить на главный вопрос: как правильно решать уравнения?

Итак, объектом исследования являются алгебраические и тригонометрические уравнения.

Предмет исследования - способы решения уравнений, основанные на идеи равносильности преобразований.

Гипотеза исследования - способы решения уравнений, основанные на идее равносильности преобразований, позволяют исключить потерю корней, предупредить появление посторонних корней, т.е. находить верные решения уравнений.

Цель исследования : изучение способов решения уравнений, основанных на идее равносильности преобразований, разработка рекомендаций для учащихся 10-11 классов по применению этих способов на практике.

В соответствии с целью и выдвинутой гипотезой предполагается решить следующие задачи :

Провести исследование актуальности для учащихся 10 и 11 классов рассматриваемых в работе вопросов, связанных с решением уравнений;

Изучить различные подходы к решению уравнений на основании идеи равносильности;

Ответить на следующие вопросы:

1) как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;

2) какие преобразования могут привести данное уравнение к уравнению-следствию;

3) если мы в конечном итоге решили уравнение - следствие, то как сделать проверку в случае, когда непосредственная подстановка найденных корней в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями;

4) в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить;

Описать основные способы решения некоторых видов уравнений, сделать анализ их достоинств и недостатков;

Рассмотреть вопрос о необходимости нахождения ОДЗ;

Глава 1

К вопросу о равносильности уравнений

1.1.Теоремы о равносильности уравнений

Задача с формулировкой «решите уравнение », где соответственно, в школьном курсе математики относится к наиболее часто встречающимся. Методике решения уравнений посвящено немало работ. Так работы А.Г.Мордковича , позволяют, по мнению автора, сформировать целостное представление о методах решения уравнений на основании идеиравносильности уравнений .

При этом решение уравнения осуществляется в три этапа:

Первый этап - технический . На этом этапе осуществляется цепочка переходов от данного уравнения до последнего (самого простого).

Второй этап - анализ решения. На этом этапе отвечают на вопрос, все ли преобразования равносильные.

Третий этап - проверка. Если анализ показал, что некоторые преобразования приводят к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней.

Рассмотрим основные положения теории равносильности уравнений.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной называются равносильными, если множества их корней совпадают; иными словами, если они имеют одинаковые корни или оба не имеют корней.

Например, уравнения равносильны, т.к. оба имеют своими корнями только числа 2 и -2. Равносильны и уравнения и = -5, т.к. они не имеют корней на множестве действительных чисел, т.е. множества их корней совпадают.

Определение 2 . Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения, то второе уравнение называют следствием первого.

Например, уравнение является следствием уравнения, т.к. уравнение имеет только один корень - число 6, в то время как уравнение имеет два корня 6 и 0.

Замечание. Очевидно следующее утверждение: два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

В процессе решения уравнений мы переходим от одного уравнения к другому до тех пор пока не придем к более простому, корни которого мы можем найти. И вот здесь возникает главный вопрос, будут ли его корни корнями исходного уравнения? Если все преобразования будут равносильными, то ответ на этот вопрос однозначный: да, будут. Если в некоторых преобразованиях мы не уверены (но точно знаем, что перешли к уравнению-следствию), то найденные корни последнего уравнения надо проверить, подставив их поочередно в исходное уравнение. Если такая подстановка показывает, что найденный корень последнего уравнения не удовлетворяет заданному, то он называется посторонним корнем для данного уравнения и отбрасывается.

Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием ? На этот вопрос нам помогут ответить следующие теоремы.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получиться уравнение равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение, где равносильно уравнению.

Определение 3. Областью определения уравнения или область допустимых значений переменной (О.Д.З.) называют множество тех значений переменной,при которых одновременно имеют смысл выражения и

Теорема 4. Если обе части уравнения умножить на одно и тоже выражение, которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в О.Д.З) уравнения

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение

равносильное данному.

Следствие. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получиться уравнение равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения неотрицательные в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень, получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 6. Если и то логарифмическое уравнение

Где равносильно уравнению

1.2. О преобразованиях, переводящих уравнение в уравнение-следствие

Ответим на второй вопрос, какие преобразования переводят уравнение в уравнение-следствие?

Если в процессе решения уравнения мы применили заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив ограничительных условий, заложенных в формулировке теоремы, то получится уравнение - следствие.

Например, уравнение имеет один корень 4. Умножив его обе части на получим уравнение - следствие имеющее два корня: 4 и 2, причем 2 - посторонний корень для уравнения (при множитель обращается в 0; теорема 4 этого не допускает). Возведя обе части того же уравнения в квадрат, получим уравнение имеющее 2 корня: 4 и -2, причем -2 -посторонний корень для уравнения

Промежуточный итог : если на каком-либо этапе решения мы умножили обе части уравнения на одно и то же выражение (имеющее смысл в области определения уравнения) или возвели обе части уравнения в одну и ту же четную степень, или опустили знаки логарифмов в левой и правой частях уравнения, то обязательна проверка всех найденных корней.

Однако главной причиной перехода от уравнения к уравнению-следствию является расширение области определения . К нему приводит:

а) освобождение от знаменателя . Был знаменатель - было ограничение не стало знаменателя - не стало ограничения. Рассмотрим, пример, уравнение = 8. Его область определения Если в левой части уравнения сократить дробь, т.е. освободиться от знаменателя, то получим уравнение область определения которого - множество всех действительных чисел. Его корнем является число 4. Однако оно не будет корнем данного уравнения. Следовательно, данное уравнение решений не имеет;

б) освобождение от знаков логарифма;

в) использование формулыдля четного n.

В самом деле, если было выражение то его область определения задается неравенством если же заменить на и рассмотреть выражение как самостоятельное, то ограничение снимается, т. е. область определения расширяется.

Например: решить уравнение

Р е ш е н и е. 5

В процессе преобразований дважды расширялась область определения и дважды применялась неравносильная операция возведение в квадрат. Значит, мы получили уравнение - следствие. Проверка обязательна.

Проверка. Подставим в исходное уравнение первый корень 2, получим При подстановке второго корня мы замечаем, что уже больше 5, т.е. второй корень не может удовлетворять заданному уравнению, следовательно, этот корень является посторонним.

О т в е т: 2.

1.3. К вопросу о потере корней уравнения

Ответим на вопрос о том, когда уравнение теряет корни и как этого недопустить ?

Существует несколько причин потери корней :

а) деление обеих частей уравнения на одно и тоже выражение в случае, когда оно может принимать значение равное 0; так при решении уравнения необходимо переходить к уравнению (а не к уравнению).

б) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения ; это, например, происходит при использовании некоторых тригонометрических формул. Покажем это на примере.

При решении уравнения

происходит сужение области определения данного уравнения. Действительно, его областью определения является множество всех действительных чисел, а для появляется ограничение.

Положим u= , получим =1, откуда u= +2, n. Но множество тоже является решением уравнения.

О т в е т: +2, n.

Существуют и другие случаи потери корней.

1.4. О решении уравнений на основании идеи их равносильности

А теперь попытаемся ответить на вопрос: можно ли на основе положения о равносильности уравнений создать полное представление о методах их решения?

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Задача решения этого уравнения сводится к задаче нахождения области определения функции, т.е. к решению неравенства Решить уравнение без О.Д.З. невозможно. Если перейти к уравнению - следствию, возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

корнями которого являются все действительные числа. Т.к. корней бесконечно много, то проверить их путем подстановки нельзя. Возможность одна, учесть, что уравнение (2) равносильно уравнению (1) на области определения уравнения (1).

Задача «решить уравнение (1)» свелась к задаче «найти О.Д.З. уравнения (1), которая сводится к задаче «решить неравенство ». Т. е от уравнения мы перешли к равносильному неравенству не с помощью преобразований, при помощи переформулирования исходной задачи.

Пример 2. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Каждое слагаемое левой части неотрицательное, поэтому левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда каждое ее слагаемое равно нулю. Решение уравнения сводится к решению равносильной системы уравнений

О т в е т: 3.

Таким образом, задача «решить уравнение (3)» свелась к задаче «решить систему уравнений ».

Пример 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Пусть Получим уравнение

корни которого 1 и 2. Значит, исходное уравнение равносильно совокупностиуравнений

Первое уравнение не имеет решения (исходя из множества значений функции косинус), а решением второго уравнения будет

Таким образом, равенство в процессе решения использовалось как уравнение, следовательно, от задачи «решить уравнение (5)» мы перешли к задаче «решите систему уравнений

Решение уравнения (5) и системы уравнений (7) взаимно определяют друг друга.

Число решение уравнения (5) тогда и только тогда, когда найдется число такое что пара чисел является решением системы (7). Это можно взять за определение равносильности уравнения и системы уравнениний. Система уравнений (7) равносильна совокупности систем уравнений

которая равносильна совокупности уравнений (6).

Рассмотренные выше примеры 1-3 содержат лишь некоторые переходы, которые используются при решении задач «решите уравнение». Совершая эти переходы (преобразования), мы соблюдали важный принцип, - не терять корней и, по возможности, не приобретать новые. Это значит, что идея равносильности является основной при решении таких задач. Однако, как мы видели, она не сводится только к равносильности уравнений. Эта идея равносильныхпереходов (преобразований ) должна включать в себя понятие равносильности уравнений, неравенств, их систем и совокупностей, уравнений и неравенств с несколькими переменными. Очевидно, чтобы правильно решать уравнения, нужно владеть этими понятиями. Вопросы равносильности уравнений и неравенств, равносильности уравнений и систем уравнений и неравенств рассматриваются в работах С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова . Мы будем рассматривать эти вопросы в следующей главе.

Глава 2

К вопросу о равносильности уравнений, неравенств,

их систем и совокупностей

2.1. О способах решения уравнений

Рассмотрим уравнения средней сложности . При этом мы ограничимся уравнениями нескольких видов. Для каждого из этих уравнений существует свой способ преобразования:

а) для уравнения - возведение уравнения в квадрат, т.е. замена его уравнением (х) = g 2 (

б) для уравнения - приведение подобных, т.е. замена разности нулем;

в) для уравнения - освобождение уравнения от знаменателя, т. е. замена его уравнением

г) для уравнения - применение формулы

т.е. замена его уравнением

Каждый, кто будет решать конкретное уравнение вида а) - г), при-менит к нему указанное выше преобразование. Заметим, что существует только три способа применения указанных преобразований:

Переход к уравнению-следствию,

Переход к уравнению, равносильному на неко-тором множестве исходному уравнению,

Переход к системе (уравнений и неравенств), равносильной исходному уравнению.

Практически каждое уравнение вида а) - г) можно решать любым из этих трех способов. Далее рассмотрим примеры решения уравнений этими способами, а затем обсудим ситуации, в которых примене-ние того или иного способа предпочтительнее.

2.2. Переход к уравнению-следствию

Отметим, что каждое из перечисленных выше преобразований уравнений вида а) - г) приводит к уравнению-следствию.

Пример 4. Решить уравнение

Р е ш е н и е: возведя уравнение (8) в квадрат, получим урав-нение,

являющееся следствием уравнения (8). Уравнение (9) имеет два корня = 3 и = -2.

Проверим, являются ли эти числа корнями урав-нения (8). Подставляя каждое из них в левую и правую части уравнения (8), получим:

Это означает, что число является корнем уравнения (8), а число - нет. Следовательно, уравнение (8) имеет единственный корень

О т в е т: 3.

Пример 5. Решить уравнение

Р е ш е н и е: перенося все члены уравнения (10) в одну сторо-ну, приводя подобные, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (10). Уравнение (11) имеет два корня

Проверка показывает, что число является корнем уравнения (10), а число— нет, так как - 3 = -1 < 0, а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень 4.

О т в е т: 4.

Пример 6. Решить уравнение

= 1. (12)

Р е ш е н и е: освобождаясь от знаменателя, получим уравне-ние

являющееся следствием уравнения (12). Уравнение (13) имеет два корня

Проверка показывает, что число является кор-нем уравнения (12), а число - нет, так как 49 - 42 - 7 = 0, а делить на нуль нельзя.

Следовательно, уравнение (12) имеет единственный корень.

О т в е т: 1.

Пример 7. Решить уравнение

Р е ш е н и е: применяя формулу, получим урав-нение

являющееся следствием уравнения (14). Уравнение (15) имеет два корня

Проверка показывает, что число является корнем уравнения (14), а число - нет, так как а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (14) имеет единственный корень.

О т в е т: 6.

при переходе к уравнению-следствию (не важно, какое преобразо-вание при этом проводилось) не надо искать ОДЗ, но надо знать, что проверка найденных корней явля-ется обязательным элементом решения уравнения.

2.3. Переход к уравнению, равносильному

на некотором множестве исходному уравнению

Каждое из преобразований а) - г) приводит к уравнению, равносильному на некотором множестве М исходному уравнению. При этом для каждого преобразования это множество отыскивается своим способом, определяемым именно этим преобразованием.

Сформулируем необходимые утверждения о рав-носильности уравненийна множестве .

Уравнениеравносильно уравнению f(x)=g 2 (x )на множестве М тех x , для каждого из которых обе части исходного уравне-ния определены и неотрицательны.

Уравнение равносильно уравнению = g(x )на множестве М тех, для каждого из которых определена функция

Уравнение равносильно уравнению на множестве М тех x , для каждого из которых не обращается в нуль ни функция ни функция.

Уравнениеравносильно урав-нению

на множестве М тех, для каждого из которых обе функции и неотрицательны.

Пример 8. Решить уравнение

Р е ш е н и е: обе части уравнения (16) определены и неотри-цательны на множестве М тех , для каждого из которых одновременно выполняются неравенства т.е. М =. На множестве М уравнение (16) равносильно уравнению

имеющему два корня

Так как , то уравнение (17) имеет на множестве М единственный корень.Он и является единственным корнем уравнения (16).

О т в е т: .

Пример 9. Решить уравнение

Р е ш е н и е: на множестве М всех уравнение (18) равносильно уравнению

имеющему серию решении.

Ясно, что только для. Поэтому уравнение (19) имеет на множестве М серию решений x. Эти решения (и только они) являются решениями уравнения (18).

О т в е т: .

Пример 10. Решить уравнение

Р е ш е н и е: так как на множестве М = ; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.